ᥫ᭡
Region: PH
Tuesday 14 October 2025 09:07:59 GMT
682
10
4
28
Music
Download
Comments
Rhianna :
must haveeeee
2025-10-14 12:21:56
0
Kgwd.Parekoy🏳️🌈 :
i have na rin po🥰
2025-10-15 22:02:15
0
Alvie :
effective po yan
2025-10-16 00:10:10
0
𝓑𝓼𝔂𝓪𝓪𝓪𝓪𝓪 🦋 :
💗💗💗
2025-11-07 10:25:07
0
To see more videos from user @chan.ashleyy, please go to the Tikwm
homepage.
![Число e {\displaystyle e} может быть определено несколькими способами. Через предел: e = lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x {\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}} (второй замечательный предел). e = lim n → ∞ n n ! n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}} (это следует из формулы Муавра — Стирлинга). Как сумма ряда: e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}} или 1 e = ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n n ! {\displaystyle {\frac {1}{e}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}}. Как единственное число a {\displaystyle a}, для которого выполняется ∫ 1 a d x x = 1. {\displaystyle \int \limits _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=1.} Как единственное положительное число a {\displaystyle a}, для которого верно d d x a x = a x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}.} ∫ a x d x = a x + C . Число e {\displaystyle e} играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики. Поскольку функция экспоненты e x {\displaystyle e^{x}} интегрируется и дифференцируется «сама в себя», логарифмы именно по основанию e {\displaystyle e} принимаются как натуральные. {\displaystyle e} — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число e {\displaystyle e} называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». Производная экспоненты равна самой экспоненте: d e x d x = e x . {\displaystyle {\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}.} Это свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, общим решением дифференциального уравнения d f ( x ) d x = f ( x ) {\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=f(x)} являются функции f ( x ) = c e x {\displaystyle f(x)=ce^{x}}, где c {\displaystyle c} — произвольная константа. Число e {\displaystyle e} трансцендентно. Впервые это было доказано в 1873 году Шарлем Эрмитом[1]. Трансцендентность числа e {\displaystyle e} следует из теоремы Линдемана. Предполагается, что e {\displaystyle e} — нормальное число, то есть частота появления разных цифр в его записи одинакова. В настоящее время (2017) эта гипотеза не доказана. Число e {\displaystyle e} является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом. e i x = cos ( x ) + i ⋅ sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)}, см. формула Эйлера, в частности e i π + 1 = 0. {\displaystyle e^{i\pi }+1=0.} e = cos ( i ) − i sin ( i ) = sinh ( 1 ) + cosh ( 1 ) {\displaystyle e=\cos(i)-i\sin(i)=\sinh(1)+\cosh(1)} Формула, связывающая числа e {\displaystyle e} и π {\displaystyle \pi }, т. н. интеграл Пуассона или интеграл Гаусса ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}} Для любого комплексного числа z верны следующие равенства: e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n = lim n → ∞ ( 1 + z n ) n . {\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} Другие связи между константами: π e = 2 ∏ k = 1 ∞ ( 2 k + 1 2 k − 1 ) 2 k − 1 ( k k + 1 ) 2 k {\displaystyle {\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}} π ⋅ e = 6 ∏ k = 1 ∞ ( 2 k + 3 2 k + 1 ) 2 k + 1 ( k k + 1 ) 2 k {\displaystyle \pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}} Формула, найденная Сринивасой Рамануджаном: 1 + 1 1 ⋅ 3 + 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 + 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 + … + 1 1 + 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + … = e ⋅ π 2 {\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\ldots +{\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {2}{1+\displaystyle {\frac {3}{1+\displaystyle {\frac {4}{1+\displaystyle {\frac {5}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2}}}} Число e {\displaystyle e} разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом (простое доказательство этого разложения, связанное с аппроксимациями Паде, приведено в[2]): e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , 10 , 1 , … ] {\displaystyle e=[2;\;1,2,1,\;1,4,1,\;1,6,1,\;1,8,1,\;1,10,1,\ldots ]}, то есть e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + 1 1 + 1 8 + 1 1 + 1 1 + 1 10 + 1 1 ⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜⬜](/video/cover/7646533881973214484.webp)
