@misanthropdepression: Пример: 2 цвета и 3-мерный куб, содержащий один одноцветный 4-вершинный копланарный полный подграф. Подграф показан ниже куба. Этот куб не будет содержать такой подграф, если, например, нижний край у настоящего подграфа будет заменен на синий — что доказывает с помощью контрпримера, что N* > 3. Число Грэма связано со следующей проблемой в теории Рамсея: Рассмотрим n {\displaystyle n}-мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2 n {\displaystyle 2^{n}} вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в синий цвет. При каком наименьшем значении n {\displaystyle n} каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости? Грэм и Ротшильд в 1971 году доказали, что эта проблема имеет решение, N ∗ {\displaystyle N^{*}}, и показали, что 6 ⩽ N ∗ ⩽ N {\displaystyle 6\leqslant N^{*}\leqslant N}, где N {\displaystyle N} — конкретное, точно определённое, очень большое число. На языке стрелочной нотации Кнута оно может быть записано как N = F 7 ( 12 ) {\displaystyle N=F^{7}(12)}, где F ( n ) = 2 ↑ n 3 {\displaystyle F(n)=2\uparrow ^{n}3}. Это число именуется как «малое число Грэма» (англ. Little Graham). Нижняя граница была улучшена Экзу в 2003 году и Баркли в 2008 году, который показал, что N ∗ {\displaystyle N^{*}} должно быть не меньше 13. Потом последовало и улучшение верхней границы до 2 ↑ 3 6 {\displaystyle 2\uparrow ^{3}6} и затем до 2 ↑↑ 2 ↑↑ 2 ↑↑ 9 {\displaystyle 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 9}. Таким образом, 13 ⩽ N ∗ ⩽ 2 ↑↑ 2 ↑↑ 2 ↑↑ 9 {\displaystyle 13\leqslant N^{*}\leqslant 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 9}. Предметом настоящей статьи является верхняя граница G {\displaystyle G}, которая много слабее (то есть больше), чем N {\displaystyle N}: G = f 64 ( 4 ) {\displaystyle G=f^{64}(4)}, где f ( n ) = 3 ↑ n 3 {\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3}. Именно эта граница, описанная в неопубликованной работе Грэма, и была описана (и названа числом Грэма) Мартином Гарднером. Определение числа Грэма При использовании Стрелочной нотации Кнута число Грэма G может быть записано как G = 3 ↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ 3 3 ↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ 3 ⋮ ⏟ 3 ↑↑ ⋯ ⋅ ⋅ ↑ ⏟ 3 3 ↑↑↑↑ 3 } 64 слоя {\displaystyle \left.{\begin{matrix}G&=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \cdot \uparrow } 3\\&&3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 слоя}}}, где количество стрелок в каждом слое, начиная с верхнего, определяется числом в следующем слое, то есть G = g 64 , {\displaystyle G=g_{64},} где g 1 = 3 ↑↑↑↑ 3 , g n = 3 ↑ g n − 1 3 , {\displaystyle g_{1}=3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3,\ g_{n}=3\uparrow ^{g_{n-1}}3,} где верхний индекс у стрелки показывает общее количество стрелок. Другими словами, G {\displaystyle G} вычисляется в 64 шага: на первом шаге мы вычисляем g 1 {\displaystyle g_{1}} с четырьмя стрелками между тройками, на втором — g 2 {\displaystyle g_{2}} с g 1 {\displaystyle g_{1}} стрелками между тройками, на третьем — g 3 {\displaystyle g_{3}} с g 2 {\displaystyle g_{2}} стрелками между тройками и так далее; в конце мы вычисляем G = g 64 {\displaystyle G=g_{64}} с g 63 {\displaystyle g_{63}} стрелок между тройками. Это может быть записано как G = f 64 ( 4 ) {\displaystyle G=f^{64}(4)}, где f ( n ) = 3 ↑ n 3 , {\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3,} где верхний индекс у f {\displaystyle f} означает итерации функций. Функция f {\displaystyle f} является частным случаем гипероператоров f ( n ) = hyper ( 3 , n + 2 , 3 ) {\displaystyle f(n)={\text{hyper}}(3,n+2,3)} и может также быть записана при помощи цепных стрелок Конвея как f ( n ) = 3 → 3 → ( n + 2 ) #политика #экономика #анкап #коммунизм #социализм

user17353025988

Open In TikTok:

Region: US

Thursday 03 September 2026 12:45:47 GMT