Число Грэма — это настолько огромное число, что обычные способы записи чисел практически полностью ломаются. Оно появилось в математике как верхняя граница в задаче из теории Рамсея, а прославилось благодаря тому, что долгое время считалось одним из самых больших чисел, когда-либо реально использованных в серьёзном математическом доказательстве. Самое безумное здесь то, что проблема не в том, что у него «очень много цифр». У числа Грэма количество цифр само по себе настолько огромное, что его невозможно представить физически. Если попытаться записать его обычными десятичными цифрами, потребуется количество цифр, несопоставимое даже с количеством частиц во наблюдаемой Вселенной. Чтобы понять масштаб, начнём с обычного огромного числа. Например, миллион — это 10^6, миллиард — 10^9, а гугол — 10^{100}. Гугол уже имеет 101 цифру. Даже гуголплекс, то есть 10^{10^{100}}, настолько велик, что невозможно физически записать его полностью: для записи его цифр потребовалось бы 10^{100} цифр. И вот число Грэма находится намного, намного выше этого уровня. Для его определения используют специальную систему записи, называемую стрелочной нотацией Кнута. Например, 3\uparrow3=3^3=27. Но две стрелки означают уже не обычное возведение в степень: 3\uparrow\uparrow3=3^{3^3}=3^{27}. То есть одна стрелка говорит «возвести в степень», а две стрелки создают башню степеней. Три стрелки делают операцию ещё более мощной, четыре — ещё более мощной, и так далее. Можно представить себе примерно такую лестницу: 3^3 потом 3^{3^3} потом башню из троек, потом операцию, которая строит башни из башен, потом операцию, которая повторяет уже её саму, и так далее. Число Грэма строится именно через такую чудовищно быстро растущую последовательность. Обозначим специальную функцию g(n). Начинают с g_1=3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3. Уже g_1 настолько огромно, что привычное описание «триллионы», «гугол», «гуголплекс» и даже степени вроде 10^{10^{100}} практически перестают быть полезными. Но самое смешное начинается дальше. Следующее число определяется как g_2=3\uparrow^{g_1}3. Здесь g_1 стрелок между тройками. То есть мы не говорим «3 в степени 3» или даже «3 с миллиардом стрелок». Мы берём само невероятно огромное число g_1 и используем его как количество стрелок. Затем g_3=3\uparrow^{g_2}3, потом g_4=3\uparrow^{g_3}3, и так продолжается. В конце берут \boxed{G=g_{64}}. Вот это G и называют числом Грэма. И здесь есть очень важная штука: g_1 уже невозможно нормально представить. Но g_2 строится с количеством стрелок, равным g_1. Затем g_3 использует количество стрелок, равное g_2. И так 64 раза. Поэтому сказать «число Грэма — это 3 в какой-то огромной степени» совершенно неправильно. Даже выражение вроде 3^{3^{3^{3}}} ничтожно по сравнению с тем, что происходит при построении G. При этом число Грэма всё-таки является конечным конкретным целым числом. Оно не бесконечность. Мы математически точно знаем, какое это число, и можем выполнять с ним операции. Просто его десятичная запись настолько огромна, что практически бессмысленно пытаться её получить. Причём существует забавный факт: мы можем узнать некоторые его последние цифры, несмотря на чудовищный размер самого числа. Например, последние 10 цифр числа Грэма равны \boxed{2464195387}. Это возможно благодаря модульной арифметике: математикам не обязательно выписывать всё число целиком, чтобы определить его остаток при делении на 10^{10}. Ещё интереснее то, что число Грэма далеко не самое большое число, которое математики способны точно определить. После появления числа Грэма были придуманы и использованы конструкции, которые растут ещё гораздо быстрее. Например, существуют числа, связанные с функцией TREE, которые настолько превышают число Грэма, что сравнение с ним становится почти комичным. Но число Грэма всё равно знаменито именно потому, что оно возникло не как попытка придумать максимально большое число, а как вполне настоящее число в математическом доказательстве. #лбиск #ледибагисуперкот #лайланетт #рекомендации #неллаотважнаяпринцесса - @dikayalisa228