Le nombre de Graham Le nombre de Graham est l’un des nombres finis les plus célèbres des mathématiques. Il est tellement gigantesque qu’il est impossible de l’écrire entièrement avec les chiffres habituels, même si l’on consacrait toute la matière de l’Univers à fabriquer des supports pour l’écrire. Pourtant, ce nombre a une définition parfaitement précise et il apparaît dans un véritable problème de mathématiques, lié à la théorie de Ramsey, qui étudie les situations où un certain ordre doit forcément apparaître dans de grandes structures. Le nombre porte le nom du mathématicien Ronald Graham, qui l’a utilisé avec Bruce Rothschild dans un problème concernant des coloriages et des hypercubes. L’objectif général était de trouver une borne supérieure pour déterminer à partir de quelle dimension une certaine configuration devait nécessairement exister. Le nombre de Graham n’est donc pas une invention destinée uniquement à battre des records de grandeur : il provient d’une question mathématique concrète. Pour comprendre sa construction, il faut d’abord introduire une notation imaginée par Donald Knuth : la notation des flèches vers le haut. Une flèche signifie une opération beaucoup plus puissante que la multiplication, et plusieurs flèches permettent de construire des opérations encore plus rapides. Par exemple, deux flèches correspondent à une forme de puissance répétée. Trois flèches définissent une opération encore plus vertigineuse, et ainsi de suite. Le nombre de Graham commence avec une suite de nombres notée G1, G2, G3, jusqu’à G64. Le premier terme est déjà énorme : G1 vaut 3 avec 3 flèches vers le haut entre les deux. Ensuite, chaque terme utilise le précédent comme nombre de flèches dans l’expression suivante. Ainsi, G2 est défini avec G1 flèches, puis G3 avec G2 flèches, et le procédé continue de la même manière jusqu’à G64. Le nombre de Graham est alors G64. Cette définition montre quelque chose d’important : le nombre de Graham n’est pas simplement une puissance immense comme 10 élevé à une très grande valeur. Sa croissance est bien plus rapide. Même le premier terme de la suite est déjà si grand qu’il dépasse de très loin des nombres que l’on rencontre habituellement en physique. Et pourtant, comparé aux termes suivants, G1 semble presque insignifiant. Une conséquence étonnante est que certaines informations sur le nombre de Graham peuvent être calculées sans écrire le nombre lui-même. Par exemple, les derniers chiffres de son écriture décimale sont accessibles grâce à des propriétés de l’arithmétique modulaire. On sait notamment que les cent derniers chiffres du nombre de Graham ne sont pas tous inconnus, même si le nombre complet est totalement impossible à développer sous forme décimale. Il faut également distinguer le nombre de Graham de l’infini. Le nombre de Graham est gigantesque, mais il reste un nombre entier fini. Il existe donc, en principe, une quantité précise de chiffres qui permettrait de l’écrire. Le problème est que cette quantité est tellement extraordinaire qu’aucun ordinateur réaliste ne pourrait stocker son écriture complète. L’infini, lui, n’est pas un nombre fini de cette nature. Le nombre de Graham est devenu célèbre en dehors des mathématiques parce qu’il illustre les limites de notre intuition. Les nombres comme un million ou un milliard sont faciles à imaginer. Même un googol, égal à 10 puissance 100, peut être décrit simplement. Mais les nombres construits avec la notation de Knuth dépassent rapidement toute représentation mentale ordinaire. Le nombre de Graham nous rappelle ainsi que les mathématiques permettent de définir des objets que notre imagination ne peut pas visualiser directement. #fakesituation #fyp - @ops_do_it